Односторонняя головоломка
Поскольку каждый лист бумаги имеет две стороны, то, когда вы рисуете, вам необходимо поднять карандаш и перевернуть бумагу, чтобы нарисовать на другой стороне. Если бы бумага имела только одну сторону, вы могли бы писать на любой ее части, не отрывая карандаша. Если жук ползает по односторонней бумаге, он может попасть в любую ее часть, не перебираясь через острые края, верно? И всегда может вернуться туда, откуда начал свою прогулку. Разве подобное возможно?
Настоящий односторонний лист бумаги был открыт немецким астрономом и математиком по имени Август Фердинанд Мёбиус. В его честь такой лист называется лента Мёбиуса.
Мёбиус изучал раздел математики, называемый топологией и исследующий поверхности объектов. Топологи, так называют математиков, занимающихся топологией, выясняют, что происходит с вещами при их деформировании, когда они изменяют свою форму, не разрываясь или с образованием отверстий. Я приведу вам пару примеров.
В моем воображении я могу искривить и растянуть гвоздь, придав ему форму кусочка жевательной резинки, не так ли? (Конечно же, в топологии мы используем наше воображение. Многие вещи нельзя воплотить в реальность.) А могу ли я взять ножницы и растянуть их в форме жевательной резинки? Нет! Не получится, поскольку в ножницах есть отверстия в ручках. Как бы я мысленно ни изменял их первоначальную форму, в них все равно останутся отверстия. А для тополога все веши без отверстий одинаковы, так же как и все вещи с равным количеством отверстий. Это довольно сложная наука, но, если вы хоть немного начали понимать это, вы можете стать хорошим топологом. Эти примеры требуют очень хорошего воображения, и они – только начало в науке о топологии.
Суть в том, что топологи изучают поверхности предметов. Для тополога лист бумаги имеет две стороны. (Он может сказать даже, что их шесть, если он подумает о кромках.) Если ему нужна бумага с одной стороной, он будет думать о том, как их можно соединить в одну. Это именно то, чем занимался Мёбиус, и вот какое решение он нашел.
Приступаем к изготовлению ленты Мёбиуса
Это исследование похоже на то, которое вы проводили в конце первого раздела. Во-первых, сделайте кольцо из полоски газетной бумаги, склеив ее концы клейкой лентой. Проведите карандашом линию вдоль середины полоски. После этого вы обнаружите, что линия проходит по одной, внешней стороне. Этот кусочек бумаги, хотя и стал кольцом, все еще имеет две стороны!
Лента Мёбиуса своими руками:
Скрепите другую полоску бумаги в кольцо, но перед тем, как склеить концы, поверните полоску на пол-оборота. Обведите ее вдоль середины. Вы вернетесь к тому месту, откуда начали, и ваша линия пройдет по обеим сторонам! Хотя вы не отрывали карандаша от бумаги, чтобы «нарисовать на другой стороне», эта бумажная полоска (с повернутым концом) и есть знаменитая лента Мёбиуса, лист бумаги, у которого только одна сторона!
Когда вы сделаете ленту Мёбиуса, можете продолжить ее исследование. Естественно, лист бумаги с одной-единственной стороной очень отличается от любого другого листа, с которым вы когда-либо сталкивались в своей жизни.
А насколько он другой?
Разрежьте ножницами первое (обыкновенное) кольцо вдоль проведенной вами линии. Вы получите в результате два отдельных бумажных колечка. Этого-то вы и могли ожидать от двухстороннего листа бумаги.
Сделайте такой же разрез на ленте Мёбиуса (с повернутым концом). На этот раз вы получите одно кольцо, которое будет вдвое длиннее исходного.
Действительно, односторонняя бумага очень отличается.
Если вы удивлены тем, что случилось со второй стороной или почему полоска оказалась вдвое длиннее, то я боюсь, что вам придется подождать с вопросами. Хотя топология – одна из самых захватывающих наук, настоящее ее понимание требует огромных знаний. Возможно, этот простой эксперимент заставит вас заинтересоваться «странным миром топологии», о котором вы наверняка еще не раз вспомните.
Вот он - автор удивительной ленты Мебиуса!
Немецкий математик и астроном-теоретик Август Фердинанд Мёбиус
(1790-1868) - ученик великого Гаусса, известный геометр, профессор Лейпцигского университета, директор обсерватории. Долгие годы преподавания, долгие годы работы - обычная жизнь профессора.
И вот надо же, это случилось под конец жизни! Пришла удивительная идея … это был самое значительное событие в его жизни! К сожалению, он так и не успел оценить значимость своего изобретения. Статья о знаменитой ленте Мебиуса была опубликована посмертно.
Как же называют ленту Мебиуса (иначе лист Мебиуса или петлю Мебиуса) математики?
На языке математики - это топологический объект
, простейшая односторонняя поверхность
с краем в обычном трёхмерном Евклидовом пространстве, где можно попасть из одной точки этой поверхности в любую другую, не пересекая края.
Достаточно сложное определение!
Поэтому удобнее просто рассмотреть ленту Мебиуса поближе. Берем бумажную полоску, перекручиваем полоску в пол-оборота поперек (на 180 градусов) и склеиваем концы.
В другой раз «мама бы по головке за такую работу не погладила»! Но, на этот раз вы правы! Она должна быть перекрученным кольцом.
Ставим в каком-нибудь месте на полоске точку фломастером. А теперь прочерчиваем вдоль всей нашей ленты линию, пока вам не встретится вновь ваша точка. Вам нигде не пришлось переходить через край - это и называется односторонней поверхностью.
Посмотрите, как интересно проходит прочерченная вами линия: она то внутри кольца, то снаружи! А теперь измерьте длину этой линии - от точки до точки.
Удивляетесь?
Она оказывается в два раза длиннее первоначальной полоски бумаги!
Так и должно быть, ведь у вас в руках лента Мебиуса! А у ленты Мебиуса есть только одна сторона, и мы опять скажем - это односторонняя поверхность с краем.
А если по этой черте заставить ползти, не сворачивая, муравья, то вы получите копию картины художника Мориса Эшера.
Бедный муравей на бесконечной дороге
А можно сделать две немного разные ленты Мебиуса: у одной перекручивать перед склейкой полоску по часовой стрелке, а у другой - против часовой стрелки. Так различаются правая и левая ленты Мебиуса.
А теперь интересные сюрпризы с лентой Мебиуса:
1. Разрежьте ленту Мебиусавкруговую по центральной линии. Не бойтесь, она не развалится на две части! Лента развернется в длинную замкнутую ленту, закрученную вдвое больше, чем первоначальная. Почему лента Мебиуса при таком разрезе не распадается на отдельные части?
Разрез не касался края ленты, поэтому после разреза край (а значит и вся полоска бумаги) останется целым куском.
2. Полученную после первого опыта ленту Мебиуса (закрученную вдвое больше, чем первоначальная, т.е. на 360 градусов) вновь разрежьте по ее центральной линии.
Что получится?
У вас в руках окажутся теперь две одинаковые, но сцепленные между собой ленты Мебиуса.
3. Сделайте новую ленту Мебиуса, но перед склейкой поверните ее не один раз, а три раза (не на 180 градусов, а на 540). Затем разрежьте ее вдоль центральной линии.
Что получилось?
У вас должна получиться замкнутая лента, завитая в узел трилистника
, т.е. в простой узел с тремя самопересечениями.
4. Если вы сделаете ленту Мебиуса с еще большим числом полуоборотов перед склейкой, то получатся неожиданные и удивительные фигуры, называемые парадромными кольцами .
5. Если разрезать ленту Мебиуса, не посередине, а отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получатся две сцепленные ленты, одна — более короткая лента Мебиуса, и другая — длинная лента Мебиуса с двумя полуоборотами.
Посмотрите, как это можно сделать на практике:
Близкой к ленте Мебиуса односторонней поверхностью является бутылка Клейна.
Интересно, что бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мебиуса по краям. Однако, в обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
Есть еще один интересный объект, связанный с лентой Мебиуса. Это резистор Мебиуса.
В истории нередко бывают случаи, когда одна идея приходит в головы одновременно нескольким изобретателям. Так случилось и с лентой Мебиуса. В том же 1858 году идея ленты пришла и к другому ученому - Иоганну Листингу . Он дал название науке, изучающей непрерывность, — топология . А первенство в открытии топологического объекта - ленты досталось Августу Мебиусу.
Мы незаметно встречаем ленту Мебиуса в разных устройствах: это и красящие ленты в матричных принтерах,и ременные передачи, шлифовальные устройства, ленточные конвееры и многие другие. В этом случае срок службы изделия увеличивается, т.к. уменьшается изнашиваемость. А в системах непрерывной записи применение ленты Мебиуса позволяет вдвое увеличить время записи на одну пленку.
Таинственная лента Мебиуса всегда будоражила умы писателей, художников и скульпторов.
Рисунок ленты Мебиуса используется в графике.Вспомните, например, эмблему знаменитой серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“» или международный символ переработки
Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве.
Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.
Кто и когда ее открыл?
Такой непростой объект, как лента Мебиуса, был и открыт довольно необычно. Прежде всего отметим, что два математика, абсолютно не связанные между собой в исследованиях, открыли ее одновременно – в 1858 году. Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика - Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны. Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».
Свойства
Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:
1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.
2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.
3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.
4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.
5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер – 6, а вот кольцо из бумаги – 5.
Научное использование
Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.
Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная - это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.
Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти – замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.
По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение - это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.
Реализация на практике
В различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 1800 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.
На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.
Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.
Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них - это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.
Источник творческого вдохновения
Лента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности - Мауриц Корнелис Эшер.
Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.
Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.
Литература и топология
Необычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Р. Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли.
Фигурирует она и в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка, «На ленте Мебиуса» М. Клифтона и «Лист Мебиус» А. Дж. Дейча. По мотивам последнего режиссером Густаво Москера был снята фантастическая кинокартина «Мебиус».
Делаем сами, своими руками!
Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:
1. Для изготовления ее модели потребуются:
Лист обычной бумаги;
Ножницы;
Линейка.
2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.
3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 1800 так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.
4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.
Лента Мебиуса готова.
5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.
Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса - односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью.опубликовано econet.ru
Техника - молодёжи 1984-09, страница 65
источники
Одним из самых простых и одновременно самых сложных и странных объектов является лента Мёбиуса. Несмотря на всю неординарность данной фигуры её с легкостью можно сделать самостоятельно и провести все эксперименты, которые описываются в этой статье.
Лента Мёбиуса – простейшая неориентируемая поверхность, которая является односторонней в трёхмерном пространстве. Её часто называют ещё поверхностью Мёбиуса и относят к непрерывным (топологическим) объектам.
Согласно легенде, немецкий астроном, математик и механик Август Фердинанд Мёбиус открыл этот объект после того, как служанка, работающая в его доме, сшила тканевую ленту в кольцо, перевернув по невнимательности один из ее концов. Увидев результат, вместо того, чтобы отругать незадачливую девушку Мёбиус произнес: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!»
Август Фердинанд Мёбиус.
Изучив свойства ленты, Мёбиус написал о ней статью и отправил в Парижскую академию наук, но её публикации так и не дождался. Его материалы были опубликованы уже после смерти математика, а необычная топологическая поверхность была названа в его честь.
Сделать ленту Мёбиуса очень просто: возьмите ленту ABCD, а после сверните таким образом, чтобы точки A и D соединились с B и C.
Изготовление Ленты Мёбиуса. Получается обычная на первый взгляд фигура, которая имеет очень интересные свойства.
Необычные свойства ленты Мёбиуса
Односторонность
Все мы привыкли к тому, что у поверхностей всех объектов, с которыми мы сталкиваемся в реальном мире (например, листок бумаги) две стороны. Но поверхность ленты Мёбиуса односторонняя. Это легко можно проверить путём закрашивания ленты. Если взять карандаш и начать окрашивать ленту с любого места, не переворачивая, то в конечном итоге, лента окажется полностью закрашена.
Если кто-то попробует раскрасить только одну сторону поверхности ленты Мёбиуса, то пусть лучше сразу погрузит её в ведро с краской, поверхность ленты Мёбиуса непрерывная
Это легко проверяется следующим образом: если в любом месте на ленте поставить точку, то её можно соединить с любой другой точкой на поверхности ленты, не пресекая края. Таким образом, получается, что поверхность этого объекта непрерывная.
У ленты Мёбиуса нет ориентированности
Если бы вы смогли пройти через всю ленту Мёбиуса, то в момент возвращения в начальную точку путешествия вы бы превратились в зеркальное отражение самого себя.
Если ленту разрезать вдоль посередине, то в таком случае получается всего одна лента, хотя логика говорит о том, что их должно быть две, а если разрезать, отступив от края на треть ширины ленты, то получится уже два кольца сцепленных вместе - маленькое и большое. Сделав затем продольный разрез малого кольца посередине, в итоге, получим два переплетенных кольца одинаковых в размере, но разных по ширине.
Практическое использование ленты Мёбиуса
Уже существует довольно много изобретений, основанных на свойствах этого необычного топологического объекта. Например, красящая лента в матричных принтерах, скрученная в ленту Мёбиуса, служит гораздо дольше, поскольку износ в этом случае происходит равномерно по всей её поверхности. А скрученные в форме этого геометрического объекта лопасти кухонного миксера или бетоносмесителя снижают энергозатраты на 20%, и при этом качество полученной смеси улучшается.
Существует гипотеза, что полимер ДНК, представляющий собой двойную спираль, является фрагментом ленты Мёбиуса и по этой причине код ДНК так труден для расшифровки и понимания.
Некоторые физики, говорят о том, что оптические эффекты основаны на тех же свойствах, которыми обладает этот парадоксальный объект, так наше отражение в зеркале - это частный случай, одного из свойств ленты Мёбиуса.
Ещё одна гипотеза, связанная этим математическим объектом - это то, что сама наша Вселенная, возможно, замкнута в такую ленту и у неё есть своя зеркальная копия. Поскольку, если всё время двигаться в одном направлении по ленте Мёбиуса, то, в конце концов, окажемся в начальной точке нашего путешествия, но уже в своем зеркальном отображении.
Загадочная бутылка Клейна
На основе ленты Мёбиуса существует ещё одна удивительная фигура – бутылка Клейна. Она представляет собой бутылку, у которой на дне есть отверстие. Горлышко бутылки удлинено и загнуто, проходя в одну из стенок самой бутылки.
Бутылка Клейна
Такую фигуру невозможно воспроизвести в обычном трехмерном пространстве, ведь горлышко не должно касаться стенки бутылки и соединено с отверстием в её дне. Таким образом, получается поверхность, которая имеет всего одну сторону. Бутылка Клейна и лента Мёбиуса до сих пор привлекает внимание учёных, а также писателей.
А. Дейч в одном из своих рассказов писал о том, как однажды в Нью-Йоркском метро пути пересеклись и весь метрополитен стал напоминать ленту Мёбиуса, а электрички, идущие по путям, стали пропадать, вновь появляясь, только спустя несколько месяцев.
В книге Александра Митча «Игра в поддавки» герои попадают в пространство, которое напоминает бутылку Клейна.
Мир до сих пор остаётся для нас огромной загадкой, и кто знает, какие ещё причуды пространства откроют учёные в ближайшем будущем.
Представим себе поверхность и сидящего на ней муравья. Удастся ли муравью доползти до обратной стороны поверхности - образно говоря, до её изнанки, - не перелезая через край? Конечно же нет!
Первый пример односторонней поверхности, в любое место которой может доползти муравей, не перелезая через край, привел Мёбиус в 1858г.
М.Эшер "Лист Мёбиуса II" «Переход» через ленту Мебиусав другое измерение
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) - ученик «короля» математиков Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века.
В возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса (или лента). Мёбиус придумал ленту, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.
М.Эшер "Лист Мёбиуса"
Изготовим лист Мёбиуса: возьмите бумажную полоску-длинный узкий прямоугольник АВСD (удобные размеры: длина 30 см, ширина 3 см). Перекрутив один конец полоски на 180º, склейте из нее кольцо (точки А и С, В и D).Модель готова.
Модель ленты Мебиуса может быть легко создана из полоски бумаги, повернув один из концов полоски вполоборота и соединив его с другим концом в замкнутую фигуру. Если начать рисовать карандашом линию на поверхности ленты, то линия уйдет вглубь фигуры и пройдет под начальной точкой линии, как бы уйдя на "другую сторону" ленты. Если продолжать линию, то она вернется в начальную точку. При этом длина нарисованной линии будет вдвое больше длины полоски бумаги. Этот пример показывает, что у ленты Мебиуса лишь одна сторона и одна граница.
В Евклидовом пространстве, фактически, существует два типа ленты Мебиуса, развернутой вполоборота: одна - развернутая по часовой стрелке, другая - против часовой стрелки.
Лист Мебиуса преподнесет вам сюрприз, если вы попытаетесь его разрезать. Разрежьте лист по центральной линии. Что у вас получилось? Вместо того, чтобы развалиться на два куска, лента разворачивается в длинную связанную замкнутую полоску. Полученную после первого разреза ленту снова разрежьте по центральной линии. Перед последним сжатием ножниц попробуйте угадать, что будет?
Чтобы получить ленту Мебиуса, мы переворачивали полоску бумаги на 180º, на пол оборота. Теперь полоску скрутите на 360º, полный оборот. Склейте, затем разрежьте её по центральной линии. Какой получиться результат, трудно предугадать.
А теперь попробуем изготовить такую модель: в полосе АВСD прорезать щель и продеть сквозь неё один конец. Повернув, на пол оборота, склейте, как показано на рисунке.
А теперь продолжите разрез вдоль всей ленты. Что у вас получилось?
Таинственный и знаменитый лист мебиуса, появившийся в 1858 году, волновал художников и скульпторов. Много рисунков с изображениями листа Мебиуса оставил известный голландский художник Морис Эшер (см. статью ).
Целую серию вариантов листа Мебиуса можно встретить в скульптуре.
Роман с камнем. Праща Мебиуса. С. Карпиков Памятник ленте Мёбиуса в Москве. А. Налич
Парадокс и совершество. А. Эткало Геометрические скульптуры Мерит Расмуссен
г. Минск. Скверик около Центральной Научной библиотеки имени Якуба Коласа.
Архитетурные решения с использованием идеи ленты Мебиуса:
Невероятный проект новой библиотеки в Астане, Казахстан
Настольные композиции:
Даже есть мебель в виде ленты Мёбиуса
Ювелирные украшения в виде ленты Мёбиуса:
Есть гипотеза, что спираль ДНК человека сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса.
Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса .
Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике , например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мебиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мебиуса». С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея А. Шепелёва «Echo» (СПб.: Амфора, 2003). Из аннотации к книге: «„Echo“ — литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии — „мальчиков“ и „девочек“ — переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».
